第404章 最贪的选择-《学霸从改变开始》


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    陈舟明显愣了一下。

    这是一上来,就考自己吗?

    从几何角度研究非交换环?

    真要说起来,对于非交换环,陈舟还是有些看法的。

    非交换环的一个最常见的例子,或许就是矩阵了。

    利用矩阵可以得到一批非交换环的反例。

    就好像,若s是包含在环r内的相应维数为无穷的域。

    那么a=re_11+re_12+se_22,是左noether与左artin的。

    但不是右noerther与右artin,这说明了链条件在非交换环中有左与右的差别。

    在除环上的所有矩阵的有限直积,构成了所谓的半单环类。

    这就是通常所说的wedderburn-artin定理。

    这也是非交换环中第一个精彩的结构定理。

    更加有趣的是,它通过矩阵的对称结构,自然说明了左半单环等价于右半单环。

    在交换环中,最常见的两个根分别是jacobson根与幂零根。

    前者简称为大根,它是所有极大理想的交。

    后者简称为素根或小根,它是所有素理想的交。

    而在非交换的情形中,一个根就可能分化为三个根,满足某类条件左、右理想以及理想的交。

    事实上,非交换环r,所有极大左理想的交,恰恰就是所有极大右理想的交。

    并且它们良好的继承了相应的可逆性质。

    因此就称其为非交换环的jacobson根,也记作rad(r)。

    尽管非交换环中有左与右的区别,但也不乏此类殊途同归的有趣现象。

    而在交换代数中,由于局部化技术的广泛使用,局部环成为了一个研究的焦点。

    但非交换环的局部环技术,似乎受到了限制。

    反倒是特别在乎半局部环。

    值得注意的是,非交换环中对半局部环的定义,并非是指它只有有限个极大左理想。

    而是定义为r/rad(r)是半单环或者是artin环。

    事实上,半局部环r的各(双边)理想均包含rad(r),可以化归为artin环r/rad(r)中的极大理想,因此至多只有有限多个。

    但对于左理想的情形,就必须补充条件“r/rad(r)可交换”。

    否则可以考虑域上的矩阵代数,它是半局部的,却可能有无穷多个极大左理想。
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